一歩先の数学

高校数学をより深く使ってみることでより広い数学の世界を楽しむことができます。このコーナーではそのような一歩先の数学の世界を皆さんと一緒に垣間見てゆきたいと思います。

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正の整数の累乗和の因数

「数列」の単元では1以上n以下の正の整数の和、正の整数の2乗の和、正の整数の3乗の和を学習しますが、それらを拡張して正の整数の4乗の和、正の整数の5乗の和などを順次求めることが可能です。そのようにして導かれた結果を観察すると、その因数分解…

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tanが有理数になるπの有理数倍の鋭角

大学入試では稀に「あるπの有理数倍である鋭角θについてtanθが有理数値になるか」あるいは逆に「あるtanθが有理数値になる鋭角θについてθがπの有理数倍になるか」を問…

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確率変数の期待値その2 何回目に起きるかの期待値

前回の「一歩先の数学」では確率と数列の和の融合問題としても出題されうる確率変数の期待値の代表的なものとして,反復的な試行において定まった回数の中である特定の事象が起きる回数の期待値を中心に見てみました。

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確率変数の期待値その1 何回起きるかの期待値

確率的な考え方を応用して現実の問題について判断するときに重要な概念として確率変数とその期待値があります。その中でも特に、反復的な試行においてある結果が何回起きるかの期待値については、確率と数列の和の計算の融合問題としてその値を求める問題が…

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隣接k項間漸化式と特性方程式

いわゆる隣接3項間漸化式を解くときには特性方程式と呼ばれる2次方程式を考えるのが一般的です。このことはより項数が多い場合に拡張・一般化することができます。最初のk項と隣接k+1項間漸化式で与えられる数列の一般項は特性方程式であるk次方程式…

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集団による意思決定の数学 社会選択理論

人の集団がその集団全体に関わることを決定するとき、最もよく採用される方法は多数決でしょう。しかし実は、よく考えてみると、単純な多数決には少し複雑な問題について決定するには疑わしい面があることがわかります。集団による意思決定の方法一般につい…

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分散と相関係数 陥りがちな3つの誤解

高校で学習する統計学では分散や2つの変量の相関係数を考えることが大きな部分を占めています。これらの定義を覚え求め方を身に着けることはそれほど難しくはないのですが、活用して解釈をするにあたっては陥りがちな偏見がいくつかあり、注意を要します。…

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双曲線の焦点の位置を図形的に考える

座標平面上に原点を中心とする標準的な楕円を描くとき,その焦点の位置は楕円の定義から自然に示すことができることは広く知られています。実は原点を中心とする標準的な双曲線についても,同様に定義から焦点の位置を自然に示すことができます。今回の「一…

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ナイト・ツアーができない長方形

数式処理で数量について考えるもの、というイメージのみを数学についてお持ちの方が多いかもしれません。しかし一般に、何らかの規則的な法則に従うものは数学的考察の対象となりえます。そのよい例がゲームやパズルに対する考察です。それは計算の要素が少…

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一見同じとは思えない数たち

高校数学では最初の方で有理化や二重根号の解消などを通じて、一見同じとは思えない数が等しいこともあることを学習します。今回はそのような数の組でより高度なものについて何組か解説します。特にインドの数学者ラマヌジャンが出題した問題を多く扱います…

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シュワルツの不等式とベクトルの内積

最大値や最小値を考えるときに、相加平均と相乗平均の不等式のような(場合によってはある条件下の)どの値を変数に代入しても成立する不等式が有効なことがあります。そのような不等式の代表的なものとしてシュワルツの不等式があります。また、この不等式…

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代数的数と超越数 有理数・無理数とは別の数の分類

実数は有理数と無理数に分類することができます。これは実数を「整数係数の1次方程式の解となる数」と「ならない数」に分類していると考えることができます。この考え方を発展させて、複素数を「整数係数n次方程式の解となる数」と「ならない数」に分類し…

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3次方程式と4次方程式の「解の公式」

2次方程式が必ず解の公式で解けるのに対して、3次方程式や4次方程式は特別な場合にしか通用しない解法で特別なものを解くことがほとんどです。実は3次方程式と4次方程式にも、必ず解を求めることができる手続きがあります。

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無限の種類について 可算濃度、連続体濃度、その他

高校数学をより深く使ってみることでより広い数学の世界を楽しむことができます。このコーナーではそのような一歩先の数学の世界を皆さんと一緒に垣間見てゆきたいと思います。今回は「無限の種類について 可算濃度、連続体濃度、その他」に関する解説です。

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四面体・平行六面体の体積公式 高校範囲で行列式を考える

高校数学をより深く使ってみることでより広い数学の世界を楽しむことができます。このコーナーではそのような一歩先の数学の世界を皆さんと一緒に垣間見てゆきたいと思います。今回は「四面体・平行六面体の体積公式 高校範囲で行列式を考える」に関する…

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マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張

高校数学をより深く使ってみることでより広い数学の世界を楽しむことができます。このコーナーではそのような一歩先の数学の世界を皆さんと一緒に垣間見てゆきたいと思います。今回は「マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張」に関する解説…

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逆関数と積分 特殊な置換積分に隠れているもの

高校数学をより深く使ってみることでより広い数学の世界を楽しむことができます。このコーナーではそのような一歩先の数学の世界を皆さんと一緒に垣間見てゆきたいと思います。今回は「逆関数と積分 特殊な置換積分に隠れているもの」に関する解説です。

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「オイラリアン数」に関する解説

高校数学をより深く使ってみることでより広い数学の世界を楽しむことができます。このコーナーではそのような一歩先の数学の世界を皆さんと一緒に垣間見てゆきたいと思います。今回は「オイラリアン数」に関する解説です。

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