tanが有理数になるπの有理数倍の鋭角

「tanが有理数になるπの有理数倍の鋭角」の解説

大学入試では稀に「あるπの有理数倍である鋭角θについてtanθが有理数値になるか」あるいは逆に「あるtanθが有理数値になる鋭角θについてθがπの有理数倍になるか」を問う問題が出題されます。この問題については実は一般的な形で解決しています。具体的には、「鋭角θについてθがπの有理数倍であり、同時にtanθが有理数であるのはどのような場合か」については解明されている、ということです。今回の「一歩先の数学」ではそのことについて解説します。関連する話題としてNivenの定理として知られる定理やチェビシェフ多項式についても軽く触れます。

キーワード:Nivenの定理 チェビシェフ多項式

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