[解答解説・講評掲載] SAPIX YOZEMI GROUPからの挑戦状[数学](2019年7月掲載)

SAPIX YOZEMI GROUPからの挑戦状

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問題文

講評

「SAPIX YOZEMI GROUPからの挑戦状」に沢山のご応募をいただき、ありがとうございました。

今回は座標空間において格子点を頂点とする1辺の長さが1の立方体と原点を中心とする球面の交わりの面積の平均について、球面を大きくするときの極限を求める問題でした。ただし、話が複雑になりすぎないように、球面上に格子点が存在する場合を含まない設定にしています。当然交わる立方体の個数を評価してはさみうちの原理で求めることになるのですが、その個数の評価が難題です。正解された答案は部分部分の分け方を工夫することで、うまく交わる立方体の個数を評価していました。この方針による解法は[別解]としてご紹介します。私たちが用意していた解法は、図形の対称性を利用してx座標、y座標、z座標がすべて0以上の場合に帰着し、その部分での対称性に着目して方向ベクトルが(1, 1, 1)の方向から見て考える、というものでした。この方針による解法を[解答]としてご紹介します。

なお、問題文中で「前提としてよい」としたことについては、[補足]として解説します。

優秀賞
石堀朝陽さん

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次回の出題は11月20日ごろの予定です。

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