第25回東大入試プレ問題分析〈数学・問題2〉

今回は数学の問題です。
東大入試プレ問題にチャレンジしてみましょう。

数学

白玉2個と赤玉2個が入った箱がある。この箱の中から無作為に玉を1個取り出し、それが白玉ならば箱の中に戻し、赤玉ならば戻さない。この操作を繰り返し、箱の中の赤玉がなくなったときにこの操作を終了する。

（1）n 回目の操作が実行され、その後の箱の中の赤玉の個数が1である確率を求めよ。

（2）操作を終了するまでに行った操作の回数の期待値を求めよ。ただし、必要ならばのとき、となることを用いよ。

白玉2個、赤玉2個の合計4個の出し入れなので、考えやすい。確率が苦手な諸君でもこの問題は落とせないだろうと考えていたが、実際の出来は期待したほどではなかった。しかし、本番ではこのレベルの設問は確実に得点しないと合格は難しいだろう。

（1）の解説

（1）n 回目までに、赤玉が1個取り出される場合で白を○、赤を●とすると

上図のように k 回目に赤玉を取り出す確率は

となるから、求める確率は、これを k = 1 から n まで加えて

を計算すればよい。この問いは確実に得点したい。

（2）の解説

（2）ここでは、操作が n 回で終了する確率

を確実に求めることが第一のポイント。

第2のポイントは、期待値の立式

の計算である。

という、（等差）×（等比）のタイプの和の求め方は、頻出で、

と実際にかきだして、

のように、両辺に r をかけて辺々を引くと

と求めることができる。

これは、等比数列の和を

辺々ひいて

よって、

と求めるのと同じ考え方である。確実に理解しておきたい。

「Y-SAPIX Journal 2011 AUTUMN」より転載

次回は、「センター試験直前激励メッセージ」を掲載予定です。