[解答解説・講評掲載] SAPIX YOZEMI GROUPからの挑戦状 — 数学好きな皆さんへ(2016年8月掲載)

SAPIX YOZEMI GROUPからの挑戦状

※挑戦へのご応募は受付終了しました。たくさんのご応募ありがとうございました。

問題文

講評

SAPIX YOZEMI GROUPからの挑戦状」に沢山のご応募をいただき、ありがとうございました。

今回は、3以上の整数 n について、1以上 n 以下の整数を1個ずつ並べてできる数列の中で、2回だけ増加してその他はすべて減少するものは何通りあるかを求める問題でした。

直接数え上げるのは困難そうです。このようなときには

Ⅰ:適当な変数に着目して数列の漸化式を立て、解く
Ⅱ:より包括的で数え上げやすい条件を考えて、余分な場合の数を引く

の2つの方針が有効なことが多いです。正解された皆さんも、いずれかの方針でした。両方、という方もいらっしゃいました。【解答】としてはⅠの方針による答案例を、【別解】としてはⅡの方針による答案例を示しています。Ⅱの方針では、【別解】の他に、「どのグループも0個でない」として考えることも可能です。

解けた方も、自分の考えなかった解法について是非確認してみましょう。また、より一般に、「k 回だけ増加」とするとどうなるかについて研究してみるのもよいでしょう。

なお、一番最後に計算ミスしている答案が複数ありました。検算は怠らないようにしましょう。本問の場合なら、n に簡単な数値を代入して確かめてみるなどしてみればよいでしょう。

最優秀賞
朝永龍さん、岡田展幸さん、荻田真矢さん、おめでとうございます!

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