第5回 2011年度(前期)数学概評

東大研究室

数学 概評

数学概評:出題分析・設問別講評

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合格アドバイス

今年度の数学〈理科〉の問題を見て、その概要について述べる。

第1問

第1問。点P(0,1)を中心とする半径1の円を C とする。a を 0<a<1 を満たす実数とし、直線ya (x+1) と C との交点をQ、Rとして、(1)△PQRの面積 S (a) を求める。(2)a が 0<a<1 の範囲を動くときに S (a) が最大となる a を求める。

(1)はQRを底辺として、QRの中点をTとするとPTが高さになる。点と直線の距離の公式を使ってもよい。

(2)は微分して増減を調べればよい。この問題は確実に解けるようにしておきたい。最後に答えを載せておくので、まだ解いていない者はチャレンジして欲しい

第2問

第2問は、数列の問題である。実数 x の小数部分を表す記号<x>とそれを含む一般項の式が与えられている。(3)まであって、(1)、(2)は文科と共通。問題文をよく読んで、条件設定を正確に捉えることが大事である。

第3問

第3問は、積分・極限の問題である。点Qが点P(t ,0)を通り原点Oを中心とする円周上をPから出発して反時計回りに道のりL(正定数)だけ進んだ点をQ(u (t )、v (t ))と表す。(1)でu (t )、v (t )を求め、(2)は積分計算を行い、(3)は極限値を求める。少なくとも(1)はできなければならない

第4問

第4問は、定点Pと放物線上の2点Q、RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすときの△PQRの重心Gの軌跡を求める。小問には分かれてはいないが、完答できなくても部分点を得ることはできるので、二等辺三角形になるための条件を求めるなど、できるだけ答案を書くようにしよう。文科と共通。

第5問

第5問は、場合の数の問題である。問題文で与えられた(pq )パターンと呼ばれる整数の並びについて正確に理解できないといけない思考力が不可欠の問題である。(3)まであって、(1)、(2)の一部は文科と共通。

第6問

第6問は、2次関数と積分の問題である。最後に体積を求めるが、体積計算は東大では頻出である。丁寧に場合分けをして、ミスをしないようにしたい。手間のかかる問題であるので、本番の入試では2次関数の最大値と最小値の差を求める(1)は必ず解いて、(2)、(3)は他の問題を一通り解いてから取りかかった方が無難だろう。

東大の入試問題といえどもすべての問題が難問という訳ではない。入試の標準的な問題を多く演習して、解法と計算力をしっかりと身につけておけば、十分に合格は可能である。できる問題を確実に解いて得点を積み上げることである。理科一・二類志望者は6割、理科三類志望者は7割程度の得点率を目標にしたい。

数学概評:第1問の答

SAPIX YOZEMI GROUP「2011 summer東大合格プロジェクト」より転載

次回は、『2011年度(前期)英語概評』を掲載予定です。

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