[解答解説・講評掲載] Y-SAPIXからの挑戦状 ― 算数好きな皆さんへ(小学4年生以上対象)

挑戦へのご応募は受付終了しました。たくさんのご応募ありがとうございました。
問題にチャレンジいただいた皆さんに向けて、「中学入試へのアドバイス」「問題の解答解説・講評」を掲載しました。こちらよりご覧ください。

[2015.11.12]

難関といわれる大学・学部で出題される数学の問題にどのようなイメージを持っていますか?

難しい定理や法則を知らないと解けない?答えが数字でなくなる?さまざまな印象を持っていることでしょう。中学になって算数が数学に変わると学び方が全く変わるのではないかと不安に思っている人もいるでしょう。

世間にもそのような誤解があり、みなさんが算数の学習で身につけた力を無視して指導をする塾も見受けられます。

しかし、算数で身につけた力は数学でも役に立つのです。Y-SAPIXは皆さんがどれだけ頑張り、どれほどの力を身につけたか知っています。そしてその力を活かして数学の学習が楽しく進む方法も知っています。

皆さんが将来志望する大学・学部の問題は定理や法則を知っているだけで解けません。問題に書かれた条件を粘り強く整理しているうちにだんだん正解がみえてくるものです。これは今皆さんが算数を頑張って身につけている力と同じものですよね。今の学習は大学受験、そしてその先の学問の世界にしっかりつながっているのです。

さて、そんなサピックス小学部で日々受験に挑戦しているたくましい皆さんに、Y-SAPIXから挑戦をします。

今回は4年生以上の皆さんにチャレンジです。

問題

1以上の整数のうち、各桁の数字が互いに異なり、なおかつどの2つの数字の和も9にならないものを考えます。

(1)このような数のうち、4ケタのものは何個ありますか。

(2)小さい方から数えて2000番目のものを求めなさい。
※ただし、1ケタの数も問題文の条件を満たすものとします。
(※は追加の条件です。)

(2000年東大改題)

皆さんの挑戦をお待ちしています。

中学入試へのアドバイス

「使える数字が制限されている問題」については大学入試でも中学入試でも頻繁に出題されています。問題に合わせて次の2つの作戦を選択できるようにしてください。
①N進法の活用
②樹形図を意識して調べ上げ

①は意外に活用の範囲が狭く、②の方は少し手間がかかりますが、確実なことが多いです。

例題

0、1、3、4の4つの数字を使って作ることのできる整数を1から順に書いた時、50番目の数は何ですか

といった単純なケースであれば4進法を活用して、

例題の解答

4進法の50番目→302(4進法)となります。
今回は通常の4進法で使う0、1、2、3ではなく0、1、3、4を使うので、2を3に、3を4に変換して403

というのが最速の解法となります。

ところが、
  1. 6年生の7月度の基礎トレ(4・5年生の人はごめんなさい)で出題されたように、「4ケタ」などと制限が加わるケース
  2. 今回の出題のように、使える数字の制限が桁により違うケース
  3. □の倍数の個数を限定して聞いてくるケース(2015年度だと早稲田中学1回、学習院中学1回などで出題されています)

などの制限が加わったについては、N進法では対処しづらくなることがあります。樹形図を意識して(場合によっては本当に樹形図を描いて)問題に対処していきましょう。

それでは解答解説にうつります。

解答解説

千の位から順に樹形図を書くことを想像してください。
まず、千の位は1~9までの数字です。次は、たとえば千の位が1だった時について考えてみましょう。百の位の数字で使ってはいけないのは1(各桁の数字が互いに異なる)と8(どの二つの数字の和も9ではない)となり、枝分かれは8つです。
そこで百の位に2を選択すると今度は十の位の数字で使ってはいけないのは1、2(各桁の数字が互いに異なる)と7、8(どの二つの数字の和も9ではない)となります。

このように、樹形図を描いた時に使える数字は二つずつ減っていくことになります。

このことに気付くと
(1)9×8(0が復活することを忘れずに!)×6×4=1728(個)
(2)1ケタの数 9個
2ケタの数 9×8=72(個)
3ケタの数 9×8×6=432(個)
ここまで513個です。

ここで(1)の4ケタの数1728個を加えると明らかに2000個をこえるので、スピードを落し、4ケタの数で2000-513=1487(個目)が何か考えましょう。

  • 千の位が1のもの 8×6×4=192(個)
  • 千の位が2のもの 上と同じ
  • 以下繰り返し
となりますので、1487÷192=7あまり143より、千の位が8の143個目の数を求めます。
  • 百の位が0のもの 6×4=24(個)
  • 百の位が2のもの 上と同じ (百の位が1のものは千の位が8なので0個です)
  • 以下繰り返し
となります。24×6=144ですから、百の位が6で後ろから2番目と考えたほうが明らかに早く、8695が正解と分かります。

解答

(1)1728(個) (2)8695

講評

多数のご応募ありがとうございました。

説明も分かりやすく、上手に数えられた素晴らしい答案ばかりでした。個数の処理は面倒ですが、練習をするとリズムよく解いていくことができるようになってきます。ぜひこの問題を利用して個数の処理の練習をしてほしいと思います。

優秀答案を作成してくれた人

以下の皆さんの答案は特に優れた答案でしたので、最優秀賞・優秀賞として表彰させていただきます。

最優秀賞

千葉県 6年 Tさん
東京都 5年 Kくん

優秀賞

東京都 6年 Nさん
東京都 5年 Oくん

お問い合わせ: 0120-3759-37 (日曜・祝日を除く14:00〜18:00) Webフォームで問い合わせる