第22回 東大入試プレ問題分析〈数学・問題1〉

解答例と解説

東大入試に頻出の整数問題である。

「背理法」を用いる

（1）は、無理数の定義は、「有理数でない数」であるから、証明は当然「背理法」を用いることになる。

すなわち、
　
と仮定して、矛盾を示すのである。ここで、
　
より、p と q は自然数で、かつ p と q は互いに素と設定するのがポイントである。これにより示すべき目標が、「p と q が2以上の公約数をもつ」とはっきりしてくる。

ガウス記号の扱いがポイント

（2）は、ガウス記号の扱いがポイントになる。

ガウス記号とは「x を越えない最大の整数を表す記号」で、
　
などが成り立つ。過去の東大入試でも何題か出題されている。本問では、
　
とおいて考えてみるとわかりやすいだろう。

ガウス記号の性質より
　
となるから、各辺2乗して
　
ここで、各辺4で割った余りを考えるとよい。

「平方数を4で割った余りは0または1」であるから、を4で割った余りは0または1である。よって
　
が成り立つ。

これより
　
となるから、
　

すなわち、との整数部分はm
　
が証明される。

この解法のポイントは、4で割った余りを考えるところで、
　m が偶数 ⇔ m² を4で割った余りは0
　m が奇数 ⇔ m² を4で割った余りは1
は重要な性質なので是非覚えておきたい。

整数問題は決まった解法パターンが存在しないので難しいが、できるだけ多くの問題にあたるようにして、解法の幅を拡げておきたい。